描述流場性質的2種方法 – Eulerian v.s. Lagrange

在《偏微分方程分類對流動特性的探討》這碗雞湯中提到3個守恆定律，分別是質量守恆(Mass conservation)、動量守恆(Momentum conservation)、能量守恆(Energy conservation)。後續將會介紹如何推導這3個流體守恆定律的偏微分方程，不過在正式推導守恆定律的偏微分方程之前，我們要先了解怎麼描述流場性質。

所謂的流場性質包含與流體相關的物理量，舉凡速度、壓力、溫度等等，我們可以透過這些物理量來表示流場特性。此外，流場性質本身也會隨著時間或空間變動。

舉例來說，當你打開洗手間的水龍頭，水流傾瀉而下，濺起水花。水流除了隨著時間變動以外，洗手盆形狀改變也會影響水流軌跡，這就是空間對流場的影響。那我們要怎麼描述流場性質與這些變動呢？一起來看看吧！

尤拉描述法(Eulerian Description)

首先第一個方法是尤拉描述法。尤拉描述法的基本精神是在某個固定點觀察流場在不同時刻下的變化，對於該固定點而言，只考量時間對物理量的影響。如果觀察對象是某個特定範圍內的流場，則在該範圍內設下若干觀察點，並觀察各點在不同時刻下的流場變化。流場內的物理性質∅均可描述成時間與位置的函式，如式(1)。

\phi=\phi(x,y,z,t) - (1)

其中x, y, z用來描述空間座標，t代表時間。而流場性質∅對所有自變數的變化可表示為式(2)。

d\phi =\frac{\partial \phi}{\partial t}dt\, +\, \frac{\partial \phi}{\partial x}dx\, +\, \frac{\partial \phi}{\partial y}dy\, +\, \frac{\partial \phi}{\partial z}dz - (2)

拉格朗日描述法(Lagrange Description)

第二個方法則是拉格朗日描述法。拉格朗日描述法的基本精神是假設在某個隨著流跡線移動的質點上觀察流場不同時刻下的變化。與尤拉描述法最大不同為尤拉法中的位置與時間互為獨立變數，但在拉格朗日描述法中，位置會隨著時間改變，因此位置也能表示成時間的函式。流場性質∅為時間t的函式，如式(3)，性質隨時間的變化可表示成式(4)。

\phi =\phi(t) - (3)

d\phi =\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t}dt - (4)

Eulerian與Lagrange的轉換關係

看完上述兩種方法的介紹，是不是還有些疑惑呢？我們再來看看一個例子吧！

設想你現在坐在汪洋中的一艘小船，這艘船隨著海流漂盪，速度與海流一致。從早上到晚上感受到的溫度不同以外，行經熱帶時感受到的均溫也較溫帶來的高。在這個例子中，沿路所感受到的氣溫變化即為拉格朗日描述法基本精神。假設我們待在位置不變的港口感受氣溫變化，此為尤拉描述法基本精神。

問題來了，當小船恰巧經過港口的時候，假設船上觀測者與港口觀測者分別描述船上的氣溫變化，這兩個觀測者描述船上氣溫變化的數學式會長的一樣嗎？

答案是不會。底下就來看看怎麼得到兩者關係。

前面有提到在拉格朗日描述法中，位置也是時間的函式，兩者不再是獨立變數。因此，位置與時間的關係可寫成式(5) – (7)：

dx=v_x dt - (5)

dy=v_y dt - (6)

dz=v_z dt - (7)

其中v_x、v_y、v_z分別為x、y、z三個方向的速度。將式(5) – (7)代入式(2)可得底下式(8)：

d\phi =\frac{\partial \phi}{\partial t}dt\, +\, \frac{\partial \phi}{\partial x}v_x dt\, +\, \frac{\partial \phi}{\partial y}v_y dt\, +\, \frac{\partial \phi}{\partial z}v_z dt - (8)

接著等式兩邊同除dt可得式(9)：

\frac{\mathrm{D} \phi}{\mathrm{D} t} =\frac{\partial \phi}{\partial t}\, +\, v_x\frac{\partial \phi}{\partial x}\, +\, v_y\frac{\partial \phi}{\partial y}\, +\, v_z\frac{\partial \phi}{\partial z} - (9)

式(10)為式(9)較為精簡的表達式。

\frac{\mathrm{D} \phi}{\mathrm{D} t} =\frac{\partial \phi}{\partial t}\, +\, v\cdot \triangledown \phi - (10)

其中\frac{\mathrm{D} \phi}{\mathrm{D} t}稱為隨質導數(Substantial derivative)或物質導數(Material derivative)，為了與一般微分作區別，以大D表示。\frac{\partial \phi}{\partial t}稱為局部導數(Local derivative)，而v\cdot \triangledown \phi稱為對流導數(Convective derivative)。

看到這兒，你可能會覺得怎麼突然跑出隨質導數呢？

實際上式(9)與式(10)都是用來描述特定點的流場性質變化(感謝網友HASTA提醒，此處於2024/6/5修正)，但在不同座標系下對應的數學表達式有所差異。對於隨著質點移動的觀測者來說，由於位置隨著時間改變，可以用隨質導數簡單地描述變化，即式(9)與式(10)等號左半邊；但對於在固定點的觀測者來說，除了時間以外，還要考慮質點速度與所在位置帶來的影響，也就是式(9)與式(10)等號右半邊。

以上述小船例子來看，當小船隨著流跡線飄移至港口時，船上觀測者用拉格朗日描述法來描述氣溫變化，即可寫成\frac{\mathrm{D} T}{\mathrm{D} t}。港口觀測者用尤拉描述法則可寫成\frac{\partial T}{\partial t} + v\cdot \triangledown T。

主廚結語

看完這兩種用來描述流場性質的方式，有沒有覺得頭昏眼花呢？主廚在這邊做個小統整：

Eulerian描述法

• 基本概念：在某個固定點下觀察物理量
• 自變數關係：時間與位置互為獨立變數
• 性質變量：用局部變數與對流變數描述，需考量質點速度與位置帶來的影響

Lagrange描述法

• 基本概念：在某個隨著流跡線移動的質點上觀察物理量
• 自變數關係：因位置隨著時間改變，位置為時間函式
• 性質變量：可用隨質導數描述，自變數僅有時間

由於兩個方法各有特點，實際上會根據不同狀況選用不同方法。對於某個特定範圍內的流場性質感興趣的話，通常會選用Eulerian描述法。如果對於流體攜帶的離散介質運動感興趣，如沙子、氣泡等等，則可選用Lagrange描述法。

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