Navier-Stokes方程式介紹與推導

blue body of water

上次看過連續方程式(Continuity Equation)的推導後,此次要來跟大家介紹基於動量守恆的Navier-Stokes Equation。只要是學過流體力學的人幾乎都聽過這個方程式,底下就來看看如何推導吧!

Navier-Stokes方程式物理意義

了解Navier-Stokes Equation如何推導之前,我們先來看看Navier-Stokes Equation長什麼樣子,為了方便解釋,底下都會以二維的形式來表示,而二維的Navier-Stokes Equation可表示成式(1)與式(2):

\rho (\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})= -\frac{\partial p}{\partial x}+ \mu (\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})+\rho g_x - (1)

\rho (\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y})= -\frac{\partial p}{\partial y}+ \mu (\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2})+\rho g_y- (2)

其中u、v是X方向速度與Y方向速度,p為壓力,ρ為密度,t為時間,μ為黏滯度,g為重力。

雖然Navier-Stokes Equation看起來比連續方程式複雜許多,但依然是基於動量守恆推導出來的方程式,只要掌握這個原則,就不難理解Navier-Stokes Equation的物理意義。

先從式子左半邊來看,左半邊為慣性項,講的白話一點就是F = ma中的ma。對於沿著流跡線移動的質點m而言,除了時間加速度以外,還要考慮質點速度帶來的影響。

既然式子左半邊為慣性項,從F = ma可以得知Navier-Stokes Equation右半邊為合力項,分別考慮壓力、黏滯力與重力。其中黏滯力為流動阻力,等同於流體內的摩擦力。

雖然Navier-Stokes Equation看起來比較可怕,但只要理解每個項的物理意義就沒那麼可怕,那底下就來看看該如何推導吧!

Navier-Stokes方程式推導

首先我們考慮一個沿著流跡線移動的質點,該質點在壓力、黏滯力與重力的作用下產生慣性力。對於固定座標系下的流動質點而言,除了考慮速度隨時間變化以外,還要考量速度隨著X與Y的變化,因此可將加速度表示成式(3)與式(4)。

a_x = \frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}-(3)

a_y = \frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}-(4)

如果不了解固定座標系下流動質點的物理性質變化該如何表示的話,可參考這篇《描述流場性質的2種方法 – Eulerian v.s. Lagrange》。

接著來看看該質點的X方向受力狀況,如圖1所示。從圖1可知該質點受到重力mg、剪應力τ以及正向應力σ。其中mg可表示成式(5),其中g為重力加速度,ρ為密度,dxdy則是體積。

mg = \rho g dxdy-(5)

質點的X方向受力狀況
圖1 質點的X方向受力狀況

根據質點合力等於慣性力的關係,可將式子表示成式(6),將式(6)同除dxdy可得式(7)。

\rho g dxdy+\sigma _{xx}(x+dx)dy - \sigma _{xx}(x)dy+\tau_{yx}(y+dy)dx-\tau_{yx}(y)dx=\rho dxdy a_x-(6)

\rho g+\frac{\sigma _{xx}(x+dx)-\sigma _{xx}(x)}{dx}+\frac{\tau_{yx}(y+dy)-\tau_{yx}(y)}{dy}=\rho a_x-(7)

代入式(3) – 式(5),可將式(7)進一步表示成式(8)。

\rho g+\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}=\rho(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})-(8)

推導到這邊,有沒有覺得離目標的式(1)與式(2)越來越接近了呢?從式(1)與式(2)可知偏微方程中的未知數為壓力p與X方向速度u與Y方向速度v,因此我們需要將式(8)的正應力σ與剪應力τ用未知數來表示,其表達式如式(9) – 式(10)。

\sigma_{xx}=-P+2\mu\frac{\partial u}{\partial x}-(9)

\tau_{yx}=\mu(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})-(10)

接著我們將式(9)與式(10)代入式(8),稍微化簡後可得文章開頭的式(1)。而式(2)的推導方式與式(1)幾乎相同,差別在於式(2)是基於Y方向合力來推導的式子。為了方便閱覽,底下將Navier-Stokes Equation的式(1)與式(2)再寫一次。

\rho (\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})= -\frac{\partial p}{\partial x}+ \mu (\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})+\rho g_x - (1)

\rho (\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y})= -\frac{\partial p}{\partial y}+ \mu (\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2})+\rho g_y- (2)

使用數學符號表示的話,可將式(1)與式(2)寫成更精簡的形式,如式(11)所示,其中V為速度向量,f為作用力。

\rho(\frac{\partial V}{\partial t}+(V\cdot \triangledown )V)=-\triangledown p +\mu \triangledown^{2}V +f - (11)

主廚結語

本次雞湯帶來二維Navier-Stokes Equation的推導並稍微解釋各項物理意義,目前三大守恆定律中的連續方程式與Navier-Stokes Equation都已經推導完畢,能量守恆方程式就留到下次再與各位分享!

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