先前分別介紹連續方程式、Navier-Stokes方程式與能量守恆方程式，今天要來跟各位說明Navier-Stokes方程式的無因次化。看到這兒，心裡肯定有個疑惑，什麼是無因次化呢？無因次化又能帶來什麼好處？底下就來跟大家聊聊！
Navier-Stokes方程式無因次化
什麼是因次？
在了解無因次化之前，我們要先來看看什麼是因次(Dimension)，而因次是一種用來描述某個物理量組成的方式。舉例來說，速度等於長度除以時間，如果長度與時間的因次符號分別為L與T，速度的因次就可以表示成Lt^{-1}。
從速度的因次分析可知速度這個物理量與長度還有時間相關，而時間與長度皆為基本因次(Primary dimension)。所有的物理量都能用基本因次表示，如底下圖1所示：
要特別注意的是，因次與單位不同。以長度為例，雖然長度為基本因次，但長度單位可以是釐米、毫米等等，因次本身並不包含數值，而單位則是讓因次能以數值表現的一種測量方式。
什麼是無因次化？
了解因次之後，再來看看什麼是無因次化(Non-dimensionalization)。
前面提到每個物理量都可以用因次式表示，對於一個物理方程式而言，方程式各項有著因次相同的特點，這又稱為因次齊次定律(Law of Dimensional Homogeneity)。基於這個特點，只要適當變換參數，就能讓方程式不存在因次關係。
那麼適當變換參數指的是什麼意思呢？以式(1)這個例子來看，長度因次為L，除以某個特徵長度L_0，由於因次相消，參數L*為無因次參數。藉由特定的特徵參數操作，便能讓方程式各項無因次化。
L^* = \frac{L}{L_0} - (1)
Navier-Stokes方程式如何無因次化？
說了這麼多，Navier-Stokes方程式如何無因次化呢？開始之前先來回憶原本的Navier-Stokes方程式，如式(2)所示(推薦閱讀：Navier-Stokes方程式介紹與推導)，相對應的無因次化參數可參照式(3)。
\frac{\partial V}{\partial t}+(V\cdot \triangledown )V=-\triangledown p +\mu \triangledown^{2}V - (2)
\begin{cases} & \ V^*=\frac{V}{V_{ch}} \\ & \ L^*=\frac{L}{L_{ch}} \Rightarrow \triangledown^*=L\triangledown \\ & \ t^*=\frac{t}{L_{ch}/V_{ch}} \\ & \ p^*=\frac{p}{\rho V^2_{ch}} \end{cases} - (3)
式(3)中的上標*代表無因次參數，下標ch為特徵參數。由於Navier-Stokes方程式包含速度、時間、長度、壓力這幾項變數，故選擇這幾項變數來做無因次化。將式(3)代入式(2)後可得式(4)，再化簡一下可得式(5)。
\rho(\frac{V_{ch}}{L_{ch}/V_{ch}}\frac{\partial V^*}{\partial t^*}+\frac{V^2_{ch}}{L_{ch}}(V^*\cdot \triangledown^* )V^*)=-\frac{\rho V^2_{ch}}{L_{ch}}\triangledown^* p^* +\mu \frac{V_{ch}}{L^2_{ch}}{\triangledown^*}^{2}V^* - (4)
\rho(\frac{\partial V^*}{\partial t^*}+(V^*\cdot \triangledown^* )V^*)=-\triangledown^* p^* +\frac{\mu}{\rho V_{ch}L_{ch}}{\triangledown^*}^{2}V^* - (5)
式(5)的黏性力項係數即為無因次化參數，為了方便稱呼，將該無因次化參數的倒數稱為雷諾數(Reynolds number)，如式(6)。雖然式(6)中的符號V與L省略下標ch，但指的仍是特徵速度與特徵長度。
Re= \frac{\rho VL}{\mu} - (6)
將式(6)的雷諾數代回式(5)，即可得最後無因次化的Navier-stokes方程式，如式(7)。
\rho(\frac{\partial V^*}{\partial t^*}+(V^*\cdot \triangledown^* )V^*)=-\triangledown^* p^* +\frac{1}{Re}{\triangledown^*}^{2}V^* - (7)
無因次化帶來什麼好處？
前面講了這麼多，無因次化究竟能帶來什麼好處？以Navier-Stokes方程式來說，原先方程式的物理參數包含速度、壓力、密度等等，每調整一次參數就做一次實驗的話，實驗次數也會很多。透過無因次化的方法，可以將所有參數統整成雷諾數，只要調整雷諾數並搭配適當參數變化，就能減少實驗次數。
另一個好處則是某些實驗參數無法以現有設備測量的時候，只要確保雷諾數一致，就能用另一組可量測實驗參數模擬出原有參數的特性，解決原先實驗無法測量的困難。
打個比方來說，測試阻力的物體因尺寸太大而無法以現有設備量測的話，在雷諾數一致的情況下，可用縮小模型來測試。由於特徵長度改變，如果流體介質不變，就能藉由風速改變來量測縮小模型的阻力，進而推算原先物體所受阻力。
主廚結語
本次跟各位講解Navier-Stokes方程式的無因次化流程，雖然無因次化並不算計算流體力學的主要內容，但對於流體力學而言確是重要的觀念，往後介紹CFD的時候，也許還有機會遇到無因次化，因此還是先跟大家聊聊這塊！如果有任何問題的話，歡迎在下方留言！
參考資料
- Faculty of Khan, Nondimensionalizing the Navier-Stokes Equation, https://www.youtube.com/watch?v=8CIPQNfMe5k