相信各位看到這個標題都知道今天要聊的跟偏微分方程有關，不過偏微分方程跟計算流體力學(CFD)有什麼關係嗎？看過《淺談CFD學習之路》的話，主廚曾提過流體統御方程式為偏微分方程，儘管不太清楚這句話的意思，也應該能猜到流體跟偏微分方程有關。
今天這碗雞湯就是要讓大家知道為什麼計算流體力學跟偏微分方程有關，並進一步描述不同種類的偏微方程與流動特性的關係。那我們就開始吧！
流體3大守恆定律
每個物理現象都是某條物理定律下的產物。我們可以透過這些定律列出描述這個現象的數學式，進而求得欲知物理量。比如說理想彈性碰撞的兩物體在碰撞前後的動能與動量相等，遵守動能守恆與動量守恆這兩條定律。如果想求得物體碰撞前後的速度變化，可以寫出動量守恆跟能量守恆的數學式來求解。
同樣地，流體現象也遵守某些物理法則。假想某個固定在流場中的控制體積(Control Volume)，如圖1。對這個控制體積而言，流進體積的流體質量等於流出體積的流體質量，也就是質量守恆。再者，作用於控制體積的受力總和等於動量變化，對應的物理定律為動量守恆。最後，控制體積本身的總能量保持定值，也就是能量守恆。
從上述說明可知，對控制體積這個系統而言，流體遵守質量守恆、動量守恆、能量守恆這三條定律。一個基本的流體問題能用這三條定律來求解，而這三條數學式可以寫成偏微分方程的形式，這也是為什麼計算流體力學跟偏微分方程有關。
準線性二階偏微分方程分類
光是看到準線性二階偏微分方程(Quasi-Linear Second-Order Partial Differential Equation)，就不禁讓人頭昏眼花。之所以需要提到準線性二階偏微分方程，是因為三個守恆定律推導出來的偏微分方程可以歸類於此種偏微方程。如果要從偏微方程的角度來了解流動特性，勢必得聊聊準線性二階偏微分方程。
而準線性偏微分方程必須滿足最高階偏導數為線性這項條件。以二階偏微分方程而言，由於二階偏導數為最高階偏導數，故準線性二階偏微分方程必須滿足二階偏導數為線性。準線性二階偏微分方程可寫成下列形式：
A\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+B\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + C\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=D
其中
A = A(x,y,f, {f_{x}}, {f_{y}})
B = B(x,y,f, {f_{x}}, {f_{y}})
C = C(x,y,f, {f_{x}}, {f_{y}})
D = D(x,y,f, {f_{x}}, {f_{y}})
知道準線性二階偏微方程的形式後，接著就要來看如何分類，分類方式如下：
B^{2}-4AC < 0：橢圓型(No real characteristics)
B^{2}-4AC = 0：拋物線型(One real characteristics)
B^{2}-4AC > 0：雙曲線型(Two real characteristics)
對於上過二次曲線數學課程的人來說，這個判別式與分類應該有點眼熟，實際上這邊只是借用二次曲線的名稱。
那不同分類之間有什麼差別呢？答案是特徵線(Real characteristics)的數量。當特徵線形式或數量不同的時候，自變數的資訊傳遞方式也會改變。因此，面對不同種類的偏微分方程，在數值方法上需要採取不同思路來求解。這麼說可能有些抽象，我們直接來看看圖2中三種不同偏微分方程的特徵線型式，其中X與Y為自變數。
為了方便解釋，我們先來看看雙曲線型的求解區域。從前面分類探討可知雙曲線型偏微方程具有兩條特徵線，對應圖中兩條虛線，那依賴區與影響區又是什麼意思呢？
更準確來說，圖中依賴區與影響區指的是點P的依賴區與影響區。依賴區意味點P的對應解需要依賴區資訊才能求解，而影響區內的求解區域都會受到點P對應解的影響。因此，當點P資訊變動的時候，只有影響區會受到影響，而依賴區毫無影響。同理，拋物線型偏微方程的求解區域也一樣。
那橢圓型偏微分方程的求解區域是怎麼回事呢？由於橢圓型偏微分方程沒有特徵線，在沒有依賴區與影響區的情況下，當點P資訊變動的時候，所有求解區域都會受到影響。
流動特性探討
了解不同種類的偏微分方程後，將三種偏微分方程的特性整理如下：
橢圓型：P點資訊變動影響全部求解區域
拋物線型與雙曲線型：P點資訊變動不影響依賴區，僅影響區受到影響
接著我們來思考一件事情，這些特性有沒有可能對應到某些流動現象呢？
答案是有的。
以底下影片為例，超音速子彈行進中產生的衝擊波(Shock wave)就是典型的雙曲線型，由於子彈較流體擾動速度還快，擾動無法向上游傳遞就會形成衝擊波。在這個例子中，彈頭等同P點，衝擊波對應到特徵線。
再來看看均勻流進入管子的流動狀態(Boundary layer flow)，如圖3。從圖3可知受到管壁摩擦的影響，隨著行程增加，會形成壁面兩端流體速度慢，而中央流速快的情況。對這種邊界層流動來說，並不會有回流的情況發生，下游擾動不會回傳到上游，屬於拋物線型的流動狀況。
最後則是對應橢圓型偏微方程的迴流，如底下影片所示。當流體從較窄管徑至較寬管徑時，管徑不同造成的段差會產生迴流區域。在這個迴流區域中，上下游會互相擾動，這跟橢圓型偏微方程特性一致。
在現實生活中，多數流動情況相當複雜，在不同區域可能會出現不同的流動現象，這種時候就無法將偏微分方程歸類於上述三種類型，而是稱為混合型(Mixed type)。對於混合型的偏微分方程來說，即使是同一個方程式，不同區域也有可能展現完全不同的流動特性。
主廚結語
各位覺得這碗雞湯如何呢？這碗雞湯說明了不同種類的偏微分方程特性與對應流動現象。由於把心力放在數學式子與物理意義的連結，並沒有特別說明特徵線如何推導。如果有問題的話，歡迎下方留言討論，或是到Facebook或Instagram互動討論！