拓樸最佳化基本介紹與應用發展

CAE技術發展至今，除了不同物理問題的模擬以外，最佳化技術也是重要的一環。除了傳統的參數優化以外，近期興起的拓樸最佳化展現更多設計上的可能性。因此今天就來跟各位介紹拓樸最佳化這項技術的基本概念與應用潛力。

什麼是拓樸最佳化？

拓樸最佳化又稱為拓樸優化。在一定的設計空間下，根據給定的限制條件與目標函數，找出滿足目標函數的拓樸結構設計，此為拓樸最佳化的基本概念。

光看上述說明可能有些抽象，這邊舉個例子來解釋，如圖1。在減掉50%重量的情況下仍要維持最大剛性的話，懸臂樑減重後的結構應該長怎樣呢？無論透過模擬或實驗，都可能需要多次修改才能得到結果。但透過拓樸最佳化，便有機會自動產出優化結構，減少大量試誤的時間。

拓樸最佳化如何優化結構？

屬於無參數優化的拓樸最佳化

看了上個段落的描述，想必各位都很好奇拓樸最佳化如何找出優化解，既不用多次修改，還能自動產出優化結構，會不會太好用？因此，這個段落要來跟各位說明拓樸最佳化如何運作。

在田口法或相關的實驗設計法裡面，必須先決定實驗參數並合理地安排實驗來找出優化解，這種方法屬於參數優化。相對地，拓樸最佳化與形狀最佳化則是無參數優化方式，不需要指定參數就能讓電腦找出優化構造。也因為這樣，工程人員不用多次修改實驗參數，便能達到減少試誤次數的效果。

如果還不太懂的話，可以看看圖2中的例子。採用參數最佳化的話，只能調整懸臂樑兩個長度參數X1與X2來尋找最佳解，如圖(a)。而形狀最佳化與拓樸最佳化沒有參數限制，能夠分別優化形狀輪廓與拓樸構造來尋找優化解，如圖(b)與圖(c)所示。

拓樸最佳化流程

知道參數優化與無參數優化的差異後，我們來看看電腦如何實現拓樸最佳化，流程如圖3。圖3的相關說明可參照底下段落，由於本次只是概略介紹拓樸最佳化，故不會涉及太多數學。

起始化與有限元素分析為過往CAE模擬流程，需要定義設計區域以及邊界條件並求出物理量。而拓樸最佳化既然是根據模擬結果來優化拓樸構造，那兩者之間必然要有關聯才能優化，那我們要如何關聯拓樸結構與模擬結果呢？

目前求解拓樸最佳化的主流方法共有兩種，分別是變密度法(Variable-density method)與水平集方法(Level-set method)。無論是哪一種方法都是在各個元素內部置入密度作為設計變數，並透過敏感度分析找出目標函數與密度的關係，此關係稱為敏感度。

得到敏感度之後，最佳化演算法根據敏感度來更新設計區域內每個元素的密度值，經過數次迭代後，設計區域內部的密度分布逐次變化，待目標函數收斂後就能找到最佳化結構，實際例子可參照下方影片。

流體拓樸最佳化發展

看完拓樸最佳化的基本概念與流程後，我們來看看流體方面的拓樸最佳化近年發展。相較於結構拓樸最佳化發展甚早，流體拓樸最佳化始於2003年Thomas Borrvall團隊發表的這篇論文《Topology optimization of fluids in Stokes flow》[2]。該篇論文奠定變密度法的基礎，並提出Diffuser、Bend pipe等經典算例。

截至2021年為止，流體拓樸最佳化發展僅18年，算是一個還在初期發展的研究領域，相關研究論文也逐年成長，並出現許多研究方向。

以數值算法而言，Vivien J. Challis等人在2009年提出基於水平集方法的流體拓樸最佳化，藉由Diffuser、Bend pipe等算例來驗證水平集方法的可行性[3]。除了有限元素法以外，流體拓樸最佳化也拓展至有限體積法(Finite Volume Method)[4]與晶格波茲曼方法(lattice Boltzmann Method)[5]。

以應用領域來看，除了純流體問題以外，流體拓樸最佳化也拓展至各個領域。Kentaro Yaji等人在2015年將Leve-Set Method應用於熱交換器設計[6]，CB Dilgen研究團隊則進一步將拓樸最佳化應用於紊流問題[7]。除此之外，流體拓樸最佳化的應用範圍還延伸至流固耦合[8]、電化學反應[9]等複雜多重物理場問題。

由於流體拓樸最佳化為近期興起的學科，目前大多數商業模擬軟體尚未支援此功能。然而，ANSYS已於這幾年導入結構拓樸最佳化，在其他軟體也能看見該功能，像是COMSOL、TOSCA等等。隨著流體拓樸最佳化技術逐漸成熟，大量導入商用開發的未來指日可待。

拓樸最佳化優缺點

前面講了這麼多有關拓樸最佳化的好話，這項技術難道沒有缺點嗎？答案是有的！因此這邊來統整一下拓樸最佳化的優缺點有哪些吧！

拓樸最佳化優點

• 減少開發試誤次數：如同前面段落所說的，由於拓樸最佳化為無參數最佳化，工程人員無需自訂實驗參數，電腦只要根據敏感度便能找出優化解，故能減少開發試誤次數。
• 處理經驗難以解決的問題：像是熱交換器或是電化學這種多物理場問題，較難以工程經驗找出優化解。然而拓樸最佳化基於數學運算來推演優化設計，不受經驗侷限。

拓樸最佳化缺點

• 計算成本昂貴：在每次迭代中，除了有限元素法的模擬以外，還要計算敏感度與最佳化，故三維拓樸最佳化問題的計算成本昂貴。
• 陷入局部優化解：若求解問題為高度非線性問題，由於存在許多局部優化解區域，一旦陷入局部優化解，便要調整起始點或模擬設定才有機會找到較原始設計優異的優化解。

主廚結語

本次介紹拓樸最佳化基本概念與應用於流體的相關發展。雖然流體的拓樸最佳化還在初期發展階段，但這項技術相當具有潛力，未來待技術成熟後，說不定能做出更多創新的設計呢！

參考資料

1. Martin P. Bendsøe, Ole Sigmund, Topology Optimization Theory, Methods, and Applications, 2004
2. Thomas Borrvall et al., Topology optimization of fluids in Stokes flow, Numerical Methods in Fluids 2003, 41(1), 77 – 107
3. Vivien J. Challis et al., Level set topology optimization of fluids in Stokes flow, Numerical Methods in Engineering 2009, 79(10), 1284 – 1308
4. A. Gersborg-Hansen et al., Topology optimization of heat conduction problems using the finite volume method, Structural and Multidisciplinary Optimization 2006, 31, 251 – 259
5. Georg Pingen, Topology optimization of flow domains using the lattice Boltzmann method, Structural and Multidisciplinary Optimization 2007, 34, 507 – 524
6. Kentaro Yaji, A topology optimization method for a coupled thermal–fluid problem using level set boundary expressions, International Journal of Heat and Mass Transfer 2015, 81, 878 – 888
7. Cetin B.Dilgen et al., Topology optimization of turbulent flows, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2018, 331(1), 363 – 393
8. Gil Ho Yoon, Topology optimization for stationary fluid–structure interaction problems using a new monolithic formulation, Numerical Methods in Engineering 2009, 82(5), 591 – 616
9. Kentaro Yaji, Topology optimization for the design of flow fields in a redox flow battery, Structural and Multidisciplinary Optimization, 2018, 57, 535 – 546