在前面雞湯有提到流體三大守恆定律：質量守恆、動量守恆、能量守恆。本次要帶大家看看質量守恆的流體偏微分方程該如何推導，此方程式也稱為連續方程式(Continuity Equation)。由於二維與三維的推導過程差異不大，為了便於理解，底下將會推導二維的連續方程式！
連續方程式推導
考量一個固定在流場中的控制體積(Control Volume)，如圖1。對於該控制體積而言，淨流量(流入質量扣除流出質量)等於控制體積內部質量變化率，可寫成式(1)。
\rho v_x dy - (\rho v_x+\frac{\partial \rho v_x}{\partial x}dx)dy+\rho v_y dx - (\rho v_y+\frac{\partial \rho v_y}{\partial y}dy)dx={\frac{\partial}{\partial t}}(\rho dxdy) - (1)
其中ρ為密度、dx與dy分別為控制體積X方向長度與Y方向長度，v_x與v_y為X方向速度與Y方向速度，t則是時間。
這邊稍微說明一下式(1)，以X方向質量守恆為例，流體從左方進入控制體積，並從右方出去。流入質量為\rho v_x dy，流出質量則可表示成流入質量\rho v_x dy加上經過控制體積後的質量變化 \frac{\partial \rho v_x}{\partial x}dxdy。
稍微整理一下式(1)並同除dxdy，可將式(1)寫成式(2)。
\frac{\partial \rho}{\partial t} + {\frac{\partial \rho v_x}{\partial x}} + {\frac{\partial \rho v_y}{\partial y}} = 0 - (2)
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \triangledown \cdot (\rho v)=0 - (3)
式(3)為式(2)較為精簡的表達式，同時也是基於流體質量守恆推導出來的連續方程式。
不同流體狀態下的連續方程式
式(3)的連續方程式可用於大多數流體問題求解，不過對於一些簡化的流體問題而言，並不需要考量這麼全面，否則會浪費太多計算成本。底下就來聊聊哪些情況可以簡化連續方程式吧！
首先第一個情況就是求解的流體問題為穩態流動(Steady flow)。在穩態流動的情況下，流體性質並不會因為時間而有所變動。因此式(3)可以簡化成底下式(4)。
\triangledown \cdot (\rho v)=0 - (4)
再來第二個情況，當流體為不可壓縮流體(Incompressible flow)的時候，密度為定值，不會隨自變數產生變化。因此，對於穩態流動的不可壓縮流體，可將連續方程式寫成式(5)。
\triangledown \cdot v=0 - (5)
主廚結語
這碗雞湯講述基於質量守恆的流體連續方程式推導，動量守恆與能量守恆後續也會介紹！如果有任何問題或想法，歡迎在下方留言或是到科技雞湯Facebook、Instagram互動！