前面推導連續方程式與Navier-Stokes方程式後，下一個要來推導的是能量守恆方程式。在國高中物理裡面，相信大家對能量守恆方程式並不陌生，不過此次要帶大家來看的是用來求解流體問題的能量守恆偏微分方程。
能量守恆方程式推導
流體內能與動能
考慮一個沿著流跡線移動的控制體積(Control Volume)，如圖1所示。流體進出控制體積的能量分別包含流體本身內能與動能，基於能量守恆概念，進出控制體積的流體能量總和等於進來能量扣除出去能量。因此，想要求得流體進出能量總和的話，需要知道如何表示進來能量與出去能量，如式(1) – 式(4)。
E_x = \rho u(e+ \frac{1}{2} V\cdot V) dy - (1)
E_y = \rho v(e+ \frac{1}{2} V\cdot V) dx - (2)
E_{x, dx} = \left (\rho u (e+ \frac{1}{2} V^2) + \frac{\partial (\rho u(e+ \frac{1}{2} V^2))}{\partial x}dx\right )dy - (3)
E_{y, dy} = \left (\rho v(e+ \frac{1}{2} V^2) + \frac{\partial (\rho v(e+ \frac{1}{2} V^2))}{\partial x}dy\right )dx - (4)
其中 E_x 與 E_y 分別為X方向與Y方向進來能量， E_{x, dx}與 E_{y, dy}為X方向與Y方向出去能量，ρ為密度，e為流體單位質量內能，V為速度向量，dx與dy分別是控制體積長度。藉由式(1) – 式(4)，控制體積內部的能量總和可表示成式(5)。
dE = -\left ( \frac{\partial (\rho u(e+\frac{1}{2}V^2))}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v(e+\frac{1}{2}V^2))}{\partial y}\right )dxdy - 式(5)
流體熱傳
除了流體本身內能與動能外，流體帶來的熱能也是一個需要考量的因素，而流體熱傳關係式可用傅立葉定律表示，如式(6)。
q = -\lambda \frac{\partial T}{\partial x} - (6)
其中q為熱通量，λ為熱傳導係數，T為溫度。基於傅立葉定律與能量守恆，可以仿造式(5)的形式列出控制體積內部的熱能總和，如式(7)。
dQ = \left ( \frac{\partial }{\partial x}\left ( \lambda \frac{\partial T}{\partial x} \right ) + \frac{\partial }{\partial y}\left ( \lambda \frac{\partial T}{\partial y} \right )\right )dxdy - (7)
外力做功
在Navier-Stokes方程式推導與物理意義一文中曾提到沿著流跡線移動的控制體積會受到壓力、正應力與剪應力作用，這些外力除了會帶來動量變化以外，也會對控制體積做功，X方向做功總和與Y方向做功總和可分別表示成式(8)跟式(9)。
dW_x = \left ( -\frac{\partial P\cdot u}{\partial x} +\frac{\partial \sigma _{xx}\cdot u}{\partial x}+\frac{\partial \tau _{xy}\cdot v}{\partial x}\right )dxdy - (8)
dW_y = \left ( -\frac{\partial P\cdot v}{\partial y} +\frac{\partial \sigma _{yy}\cdot v}{\partial y}+\frac{\partial \tau _{yx}\cdot u}{\partial y}\right )dxdy- (9)
能量守恆
前面分別探討流體內能與動能、熱能、外力做功這幾種能量來源，而能量守恆即為控制體積內部的能量變化等於上述幾種能量變化總和，如式(10)所示。
\frac{\partial \left [ \rho(e+\frac{1}{2}V^2) \right ]}{\partial t} = dE + dQ + dW_x + dW_y +K\cdot V+\rho\cdot q_s - (10)
式(10)後兩項分別是其他外力做功與熱能，像是上述未討論到的電磁力作功與燃燒熱或輻射熱等等。將式(10)化簡後可得能量守恆的偏微分方程，如式(11)所示。
\rho\left ( \frac{\partial e}{\partial t} + u\frac{\partial e}{\partial x} + v\frac{\partial e}{\partial y} \right ) = \left ( \frac{\partial }{\partial x}\left ( \lambda \frac{\partial T}{\partial x} \right ) + \frac{\partial }{\partial y}\left ( \lambda \frac{\partial T}{\partial y} \right )\right ) - p\cdot \triangledown V + K\cdot V+\rho\cdot q_s + \mu\cdot \phi- (11)
式(11)末項為逸散項，該項只有在超音速下產生極大速度梯度時不能忽略，對於一般的不可壓縮流體而言，該項可忽略不計。
此外，由於可透過連續方程式與Navier-Stoke方程式聯合求解，流體速度與壓力為已知數，故式(11)的未知數剩下流體能量與溫度，由於一個方程式只能求解一個未知數，因此將流體能量用溫度來表示，如式(12)。
e = c_p \cdot T - \frac{P}{\rho} - (12)
其中 c_p 為定壓比熱。接著將式(12)代入式(11)可得未知數為溫度的流體能量守恆方程式，如式(13)所示。
\rho C_p\left ( \frac{\partial T}{\partial t} + u\frac{\partial T}{\partial x} + v\frac{\partial T}{\partial y} \right ) = \left ( \frac{\partial }{\partial x}\left ( \lambda \frac{\partial T}{\partial x} \right ) + \frac{\partial }{\partial y}\left ( \lambda \frac{\partial T}{\partial y} \right )\right )+\left ( \frac{\partial P}{\partial t} + u\frac{\partial P}{\partial x} + v\frac{\partial P}{\partial y} \right ) + K\cdot V+\rho\cdot q_s+ \mu\cdot \phi - (13)
能量守恆方程式經常因應不同物理狀況來求解，而對於不可壓縮流體(incompressible flow)而言，式(13)後面四項可用 Q^T 表示，搭配數學符號就能將式(13)表示成更精簡的式(14)，即為此次要跟大家介紹的流體能量守恆方程式。
\frac{\partial }{\partial t}\left ( \rho C_pT \right )+\triangledown \cdot \left ( \rho C_p VT \right )=\triangledown \cdot \left ( \lambda \triangledown T \right ) + Q^T- (14)
主廚結語
本次跟大家介紹流體能量守恆方程式如何推導。雖然花了一段時間，不過總算介紹完計算流體力學的守恆方程式，而在了解三大守恆方程式之後，後續要來看怎麼在電腦上求解這幾個方程式！如果想持續查看最新消息，歡迎追蹤科技雞湯Facebook或Instagram！
參考資料
- Jousef Murad, Derivation of the Energy Equation, https://www.youtube.com/watch?v=in68iBENe14
- F. Moukalled et al., The Finite Volume Method in Computational Fluid Dynamics, 2015